viernes, 23 de marzo de 2012

definición de derivadas:

Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.
Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.
Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. hrepresenta una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos \scriptstyle (x, f(x))\, y \scriptstyle (x+h, f(x+h))\, es
f(x+h)-f(x)\over h
Esta expresión es un Cociente Diferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:
f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}
Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f como la función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.
Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero, calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy sencillo con funcionespolinómicas, pero para la mayoría de las funciones resulta demasiado complicado. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la mayoría de las funciones descritas; ver abajo.
Algunos ejemplos de cómo utilizar este cociente:
Ejemplo 1Consideremos la siguiente función:
f(x) \,\! = 5 \,\!
Entonces:
f'(x) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(5)-(5)}{h}
 = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{5-5}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{0}{h} = 0
Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero nunca lo alcanza. Si pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la recta tangente a la curva, es a la vez, la recta secante a la misma curva.
Ejemplo 2Consideremos la gráfica de f(x)=2x-3\,\!. Esta recta tiene una pendiente igual a 2.0 en cada punto. Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de límite, secante, y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5:
f(x) \,\! = 2x-3 \,\!
Entonces:
f'(4) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(4+h)-3-(2\cdot 4-3)}{h}
 = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{8+2h-3-8+3}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h} = 2
f'(5) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(5+h)-f(5)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(5+h)-3-(2\cdot 5-3)}{h}
 = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{10+2h-3-10+3}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h} = 2
Y vemos que se cumple para cualquier número n:
f'(n) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(n+h)-f(n)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(n+h)-3-(2\cdot n-3)}{h}
 = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2n+2h-3-2n+3}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h} = 2
Por tanto, se deduce que el valor de la función derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma.
Ejemplo 3Mediante esta diferenciación, se puede calcular la pendiente de una curva. Consideremos que: f(x)=x^2 \,\!
Entonces:
f'(x) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h}
 = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh + h^2}{h}
 = \lim_{h\rightarrow 0}(2x + h) = 2x
Para cualquier punto x, la pendiente de la función f(x)=x^2 \,\! es f'(x)
 =2x \,\!.

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